一元二次方程根的分布问题

时间:2024-06-05 06:27:40
一元二次方程根的分布问题

一元二次方程根的分布问题

一元二次方程根的分布问题是高中数学的重要知识点,很多函数问题,方程问题最后都能转化为根的分布问题.而这块内容初中不讲,高中也不讲,所以同学们都掌握的不是很好,下面就是小编跟大家分享一元二次方程根的分布问题,大家一定要在平时的练习中不断积累!

分析

这道题就是一道简单的一元二次方程的根的问题,是小数老师为了讲清楚这个知识点专门找的例题,在我们考试时,基本不会碰上这么直接的`题目(除非是只考这个知识点),也就是说在这个问题上,一般是披着外衣的,同学们必须练就火眼金睛,才能看到这个问题的本质。一般会在导数题目中考察这个问题,后面小数老师会陆续给出例题,大家持续关注!

回顾

通过之前我们学过的函数零点的知识点,我们能知道,函数的零点可以转化为方程的根,也可以转化为函数与x轴的交点,或者是两个函数的交点,所以,对于一元二次方程的根的分布问题,我们也有以上几种转化形式,在这里,基本上转化为对应的二次函数与x轴的交点即可。

我们可以数一下一元二次方程根的分布有几种情况:

1、在R上没有实根;有且只有一个实根;有两个不相等的实根;

此时只需要考虑判别式即可。

当判别式大于0时,有两个不相等的实根;

当判别式等于0时,有且只有一个个实根;

当判别式小于0时,没有实根。

2、当x在某个范围内的实根分布

此时一般需要考虑4个方面,分别是:

开口方向,判别式,对称轴,端点值f(m)的情况。

具体如下:

表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况)

分布情况

两个负根即两根都小于0

两个正根即两根都大于0

一正根一负根即一个根小于0,一个大于0

大致图象(a>0)

得出的结论

大致图象(a<0)

得出的结论

综合结论(不讨论a)

表二:(两根与k的大小比较)

分布情况

两根都小于k即

两根都大于k即

一个根小于k,一个大于k即

大致图象(a>0)

得出的结论

大致图象(a<0)

得出的结论

综合结论(不讨论a)

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