高二数学知识点:复合函数的应用

时间:2024-05-30 16:57:34
高二数学知识点:复合函数的应用

高二数学知识点:复合函数的应用

在日常的学习中,是不是经常追着老师要知识点?知识点也可以通俗的理解为重要的内容。掌握知识点有助于大家更好的学习。以下是小编精心整理的高二数学知识点:复合函数的应用,希望对大家有所帮助。

复合函数的应用

1.复合函数定义域

若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是

D={x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围,取他们的交集。

求函数的定义域主要应考虑以下几点:

(1)当为整式或奇次根式时,R的值域;

(2)当为偶次根式时,被开方数不小于0(即≥0);

(3)当为分式时,分母不为0;当分母是偶次根式时,被开方数大于0;

(4)当为指数式时,对零指数幂或负整数指数幂,底不为0(如,中)。

(5)当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合,即求各部分定义域集合的`交集。

(6)分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。

(7)由实际问题建立的函数,除了要考虑使解析式有意义外,还要考虑实际意义对自变量的要求

(8)对于含参数字母的函数,求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论,并要注意函数的定义域为非空集合。

(9)对数函数的真数必须大于零,底数大于零且不等于1。

(10)三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。

注:设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f(μ)的最小正周期为T1xT2,任一周期可表示为kxT1xT2(k属于R+)

2.复合函数单调性

依y=f(u),μ=φ(x)的单调性来决定。即“增+增=增;减+减=增;增+减=减;减+增=减”,可以简化为“同增异减”。

(1)求复合函数的定义域;

(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数);

(3)判断每个常见函数的单调性;

(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围;

(5)求出复合函数的单调性。

复合函数概念:

一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记做y=f(g(x))。简而言之,所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。

我们现在所学的初等函数包括:一次函数,二次函数,反比例函数,幂函数,指数函数,对数函数

以下均为复合函数,复合函数是由“主体函数”和“次级函数”构成,具体见下面举例:

1.f(x)=23x+5,这个复合函数的主体函数是指数函数,次级函数是一次函数,所以是由f(t)=2t和t=3x+5复合而成的

2.f(x)=ln(x2-2x-3),这个复合的主体函数是对数函数,次级函数是二次函数,所以是由f(t)=lnt和t= x2-2x-3复合而成

3.f(x)=(lnx)2,这个复合函数的主体函数是幂函数,次级函数是对数函数,所以是由f(t)=t2和t=lnx复合而成的

备注:

1.复合函数通常是由两个基本初等函数复合而成,相当于将其中一个初等函数(次级函数)镶嵌在另外一个初等函数(主体函数)中

2.两个初等函数进行“加、减、乘、除”之后,组成的函数不是复合函数。例如f(x)=x2·lnx,这个函数是幂函数跟对数函数相乘,所以这不是复合函数

3.无论遇到何种函数,首先要确定函数的定义域,这是学习函数最基本的原则。

4.次级函数的值域t的范围与主体函数的定义域f(t)的范围是一致的

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